reu-2011-06-24

335 days ago by WilliamStein

E = EllipticCurve(QQbar,[0,-1,1,-7,10]).short_weierstrass_model() 
       
f = E.division_polynomial(11); f 
        
11*x^60 - 26554176*x^58 + 33986627136*x^57 - 18759900589056*x^56 +
4055826719121408*x^55 + 1900875334808457216*x^54 -
2270856525615554494464*x^53 + 1143857196282501047255040*x^52 -
360555242175920538396131328*x^51 + 73238447811643305161360670720*x^50 -
7389138578251943810089510502400*x^49 -
1117522274408500254014270443880448*x^48 +
828347794281691150539017312117194752*x^47 -
268627373981782505780431134922396139520*x^46 +
61147724386248332174443042746247088701440*x^45 -
9775900289912679187162431627617937483890688*x^44 +
904097100515967026735251938544000234879451136*x^43 +
16290440404195491705301181870446511082656759808*x^42 -
21345926794587683355591795125646147856029739646976*x^41 +
3923246643336570114722327499078532908258884327571456*x^40 -
455085446121255554021617454845964793332145411927834624*x^39 +
48617247164632174603736913615855328387479024301334593536*x^38 -
6971448044832266337673366651101922723079604069839186952192*x^37 +
1063919089555471787532526015943823414032303890802541424803840*x^36 -
108792896945373010040329246395753499131749742193382889445392384*x^35 +
1818520295724253849434037614785724065548936779269449279233589248*x^34 +
1551322332049231148813990617335335811904676644771224706073323634688*x^33
-
306917098581123929165847995641703459894093672794380209783857792155648*x^\
32 +
31807397459862712557069151471496547706645036128633870111208837792923648*\
x^31 -
168336525283842476551947166013662212714323005526791758208826646876861235\
2*x^30 -
361408741656140798216970797195392259786598333085393458782225972179249397\
76*x^29 +
153465676589397748886042890642830021134926510198716431923701848936503522\
09920*x^28 -
122756171371164891370736845402773206753997959651291738168765646240218766\
9012480*x^27 -
261790122858094311882721105039233132560584733112928925987444728006561163\
2214016*x^26 +
119215077284996380350748360119673651704833189757185594481339473639087999\
73197611008*x^25 -
158965870948030137205216636783694134510473108740525698607876499228083588\
9406645633024*x^24 +
122527335011684178500528252436137778098595097968134424558532860509905395\
111801774931968*x^23 -
534910732997655338802683439539169017005747497730000356758466863615083627\
5789812515995648*x^22 -
505086918650372380153566487318389294798384430325344466477173155919267474\
49533438718115840*x^21 +
343725442754610780952511081381517912768707882668035789010592817771502291\
33794226534128549888*x^20 -
381488812959762561326126153357869881061083713317049063929591662344349062\
3720375065591374938112*x^19 +
289686009909481360870241669907352492209737605109383598670123535708014067\
895315279222313131704320*x^18 -
174883327984309444526316979997000892937251225152316650414740883822342309\
01519516524580440817795072*x^17 +
882451587585563241040907417509588145872826058925018188300225108381259091\
373171301034881549741326336*x^16 -
380687415774008868075087547570093234097606902073212172923578616144836885\
64038015499558927362863136768*x^15 +
142239769321508916915840204922584687920595400114191147048988322473787593\
1529491089809425062079974342656*x^14 -
465619159650183357513681259177466052017859079648368869613827660348543291\
76285791549586563658157708541952*x^13 +
135718028630985976240050571649075279440906882958802456846196902587333458\
5279333721114732744925923560652800*x^12 -
361512700800692899870201572792403888826085381398118801334584364733917247\
20879073787331857320164213615755264*x^11 +
910542382476796275667751001411394500041973045601874761418481680675404111\
931295411120627107729637973872869376*x^10 -
222462764322168179886443618496393830600485412657617204885653115711947212\
39712442231873265789524872181120499712*x^9 +
523757971576879953630625651420723152343347444098733309437042967828134304\
458381067072891490433692191379414843392*x^8 -
114099160136763381905759283320548177607234762050293734880218944434849868\
51107866860425249926269655930480980131840*x^7 +
218140304190264203952103606835931294574167442190372769344961115667627998\
837075445857848012575177230565062609993728*x^6 -
348674069152968263690061254258195203711842399984140005321226727386119075\
2164509878538764049724410088271016598962176*x^5 +
446061942163920760702633330240668435986384626731761577813800886977478689\
68902615288322685563316586361489314092679168*x^4 -
435556670201114719967179159072728973879656607697858000099436341439165553\
621072503035458409632680997679600325095325696*x^3 +
303781049818589148454760334849026185992342682807664601369680964859674150\
3521480320514386681915068613990183462621937664*x^2 -
134594707931497573236791181398328535875406675634518587133715259591199692\
01287988561267629507807322556833585030458507264*x +
284554756506560887114655322087932520317879720615795209461219618660579774\
43102808212522566076094666833149462953481732096
11*x^60 - 26554176*x^58 + 33986627136*x^57 - 18759900589056*x^56 + 4055826719121408*x^55 + 1900875334808457216*x^54 - 2270856525615554494464*x^53 + 1143857196282501047255040*x^52 - 360555242175920538396131328*x^51 + 73238447811643305161360670720*x^50 - 7389138578251943810089510502400*x^49 - 1117522274408500254014270443880448*x^48 + 828347794281691150539017312117194752*x^47 - 268627373981782505780431134922396139520*x^46 + 61147724386248332174443042746247088701440*x^45 - 9775900289912679187162431627617937483890688*x^44 + 904097100515967026735251938544000234879451136*x^43 + 16290440404195491705301181870446511082656759808*x^42 - 21345926794587683355591795125646147856029739646976*x^41 + 3923246643336570114722327499078532908258884327571456*x^40 - 455085446121255554021617454845964793332145411927834624*x^39 + 48617247164632174603736913615855328387479024301334593536*x^38 - 6971448044832266337673366651101922723079604069839186952192*x^37 + 1063919089555471787532526015943823414032303890802541424803840*x^36 - 108792896945373010040329246395753499131749742193382889445392384*x^35 + 1818520295724253849434037614785724065548936779269449279233589248*x^34 + 1551322332049231148813990617335335811904676644771224706073323634688*x^33 - 306917098581123929165847995641703459894093672794380209783857792155648*x^32 + 31807397459862712557069151471496547706645036128633870111208837792923648*x^31 - 1683365252838424765519471660136622127143230055267917582088266468768612352*x^30 - 36140874165614079821697079719539225978659833308539345878222597217924939776*x^29 + 15346567658939774888604289064283002113492651019871643192370184893650352209920*x^28 - 1227561713711648913707368454027732067539979596512917381687656462402187669012480*x^27 - 2617901228580943118827211050392331325605847331129289259874447280065611632214016*x^26 + 11921507728499638035074836011967365170483318975718559448133947363908799973197611008*x^25 - 1589658709480301372052166367836941345104731087405256986078764992280835889406645633024*x^24 + 122527335011684178500528252436137778098595097968134424558532860509905395111801774931968*x^23 - 5349107329976553388026834395391690170057474977300003567584668636150836275789812515995648*x^22 - 50508691865037238015356648731838929479838443032534446647717315591926747449533438718115840*x^21 + 34372544275461078095251108138151791276870788266803578901059281777150229133794226534128549888*x^20 - 3814888129597625613261261533578698810610837133170490639295916623443490623720375065591374938112*x^19 + 289686009909481360870241669907352492209737605109383598670123535708014067895315279222313131704320*x^18 - 17488332798430944452631697999700089293725122515231665041474088382234230901519516524580440817795072*x^17 + 882451587585563241040907417509588145872826058925018188300225108381259091373171301034881549741326336*x^16 - 38068741577400886807508754757009323409760690207321217292357861614483688564038015499558927362863136768*x^15 + 1422397693215089169158402049225846879205954001141911470489883224737875931529491089809425062079974342656*x^14 - 46561915965018335751368125917746605201785907964836886961382766034854329176285791549586563658157708541952*x^13 + 1357180286309859762400505716490752794409068829588024568461969025873334585279333721114732744925923560652800*x^12 - 36151270080069289987020157279240388882608538139811880133458436473391724720879073787331857320164213615755264*x^11 + 910542382476796275667751001411394500041973045601874761418481680675404111931295411120627107729637973872869376*x^10 - 22246276432216817988644361849639383060048541265761720488565311571194721239712442231873265789524872181120499712*x^9 + 523757971576879953630625651420723152343347444098733309437042967828134304458381067072891490433692191379414843392*x^8 - 11409916013676338190575928332054817760723476205029373488021894443484986851107866860425249926269655930480980131840*x^7 + 218140304190264203952103606835931294574167442190372769344961115667627998837075445857848012575177230565062609993728*x^6 - 3486740691529682636900612542581952037118423999841400053212267273861190752164509878538764049724410088271016598962176*x^5 + 44606194216392076070263333024066843598638462673176157781380088697747868968902615288322685563316586361489314092679168*x^4 - 435556670201114719967179159072728973879656607697858000099436341439165553621072503035458409632680997679600325095325696*x^3 + 3037810498185891484547603348490261859923426828076646013696809648596741503521480320514386681915068613990183462621937664*x^2 - 13459470793149757323679118139832853587540667563451858713371525959119969201287988561267629507807322556833585030458507264*x + 28455475650656088711465532208793252031787972061579520946121961866057977443102808212522566076094666833149462953481732096
F = factor(f.change_ring(QQ)); F 
        
(11) * (x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x +
1294672896) * (x^55 + 264*x^54 - 2352240*x^53 + 2465147520*x^52 -
1036310381568*x^51 + 79067600713728*x^50 + 198061531913355264*x^49 -
153030815316901969920*x^48 + 61803113153395615727616*x^47 -
15530927456638654471471104*x^46 + 2310658245108766934679158784*x^45 -
43640225501276130622763433984*x^44 -
102747431642095874771019878105088*x^43 +
43620907604930929732772777649242112*x^42 -
11792500968005868947962673159278166016*x^41 +
2243526086160791722433784863518906908672*x^40 -
276357037463100235512595555330838331654144*x^39 +
12905928518678237872631787831446294797221888*x^38 +
2641968833970712044701956580209945962803625984*x^37 -
717248062342095699169633073528230057755411480576*x^36 +
98931322773899993204325083907293308610730119921664*x^35 -
11883843414402615505830132971128580609068602073546752*x^34 +
1777213155553179853700607613015865325029047987165200384*x^33 -
285267419031404340228130230226937099514210464616903868416*x^32 +
34840071877651060454533462341069108806665078581312431849472*x^31 -
2265645195293382695068455211467281691540363627692063088181248*x^30 -
110848313947296644375213018390226632258789322962120704102760448*x^29 +
49933040248979684376272239108702729507845209284491116038720585728*x^28 -
6921570009339320876653858043798898302230829372036261015464735408128*x^27
+
575618960302831410117996709634903942127078473078772783940668663791616*x^\
26 -
26691103226705815458053267137049616848931745124788907002633385246982144*\
x^25 +
18682872612384640360766032215292144051780677399090212527603406151352320*\
x^24 +
617718061763735357184756051127885800616992001959424092284705579358958387\
20*x^23 +
602759150453564781574825889675467473455807832506526102773478906230466831\
9744*x^22 -
238639287591944355499856892162271671765282035972956986750156625526049374\
3652864*x^21 +
351907655772400618478300414526935502507706066504358931386308984170718089\
965469696*x^20 -
358222529357165357048591623879724834029730020583927951504804883042070598\
50566303744*x^19 +
286702563227760736217599343313871266896741767607118954782961932137280106\
9727585665024*x^18 -
190077863687488405414035048752945801434539955936901283343815162527649599\
607358063902720*x^17 +
107098950078105947351313226299002277491992794214718950746062953568907171\
43926559431720960*x^16 -
519785607342954922188769250823029125699303391512820295576486439640106131\
854862565318328320*x^15 +
218858529046905243115325014948232336378792452252247854012557926936346685\
79522254548762624000*x^14 -
803267244085611648986992708998559460574459099060991458411783958780368975\
908535599754519773184*x^13 +
258621202204319106776370375144652964120858808455784981072753491996304461\
92579697772044570591232*x^12 -
740281642776924583883187176266082585030057976503163309725890430006614037\
447554624445509162500096*x^11 +
193448237722279596082715242838920035086906508337940893331126071953677580\
60484654416121759260475392*x^10 -
479660661989529378574447906685045757582997927354521098283081547121436891\
886952425604363220110278656*x^9 +
116253083667168099805635634652094877493602259156941077620052231310637328\
32530734919520084253367861248*x^8 -
272459400234631358900030687042743449935357226080783653478769750585069721\
828589618514942451770892222464*x^7 +
585888337574260924528021763284081224335238816450432434542427775044483195\
6221760382938725699059928006656*x^6 -
108334551408603509578984919891610351842397207131364741892668688488796281\
314656304576016605496940745981952*x^5 +
162449066251072793341182303077286706535414176427244483921058814701569906\
5125169855476374033720554412834816*x^4 -
186789042573921409751956389453606054530476302435694906667198830014483234\
01277653562451649369809315510091776*x^3 +
153554641885206537407043442925962376667973315556264377608321544459204530\
943424340770035070203548466239504384*x^2 -
801821259936499435664918179082063954688403863481800247083296914669546379\
725088612781228853017745096213266432*x +
199808108347617493923945995340033834600249988631312454877770439245008391\
4204155732555052625016992346371260416)
(11) * (x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896) * (x^55 + 264*x^54 - 2352240*x^53 + 2465147520*x^52 - 1036310381568*x^51 + 79067600713728*x^50 + 198061531913355264*x^49 - 153030815316901969920*x^48 + 61803113153395615727616*x^47 - 15530927456638654471471104*x^46 + 2310658245108766934679158784*x^45 - 43640225501276130622763433984*x^44 - 102747431642095874771019878105088*x^43 + 43620907604930929732772777649242112*x^42 - 11792500968005868947962673159278166016*x^41 + 2243526086160791722433784863518906908672*x^40 - 276357037463100235512595555330838331654144*x^39 + 12905928518678237872631787831446294797221888*x^38 + 2641968833970712044701956580209945962803625984*x^37 - 717248062342095699169633073528230057755411480576*x^36 + 98931322773899993204325083907293308610730119921664*x^35 - 11883843414402615505830132971128580609068602073546752*x^34 + 1777213155553179853700607613015865325029047987165200384*x^33 - 285267419031404340228130230226937099514210464616903868416*x^32 + 34840071877651060454533462341069108806665078581312431849472*x^31 - 2265645195293382695068455211467281691540363627692063088181248*x^30 - 110848313947296644375213018390226632258789322962120704102760448*x^29 + 49933040248979684376272239108702729507845209284491116038720585728*x^28 - 6921570009339320876653858043798898302230829372036261015464735408128*x^27 + 575618960302831410117996709634903942127078473078772783940668663791616*x^26 - 26691103226705815458053267137049616848931745124788907002633385246982144*x^25 + 18682872612384640360766032215292144051780677399090212527603406151352320*x^24 + 61771806176373535718475605112788580061699200195942409228470557935895838720*x^23 + 6027591504535647815748258896754674734558078325065261027734789062304668319744*x^22 - 2386392875919443554998568921622716717652820359729569867501566255260493743652864*x^21 + 351907655772400618478300414526935502507706066504358931386308984170718089965469696*x^20 - 35822252935716535704859162387972483402973002058392795150480488304207059850566303744*x^19 + 2867025632277607362175993433138712668967417676071189547829619321372801069727585665024*x^18 - 190077863687488405414035048752945801434539955936901283343815162527649599607358063902720*x^17 + 10709895007810594735131322629900227749199279421471895074606295356890717143926559431720960*x^16 - 519785607342954922188769250823029125699303391512820295576486439640106131854862565318328320*x^15 + 21885852904690524311532501494823233637879245225224785401255792693634668579522254548762624000*x^14 - 803267244085611648986992708998559460574459099060991458411783958780368975908535599754519773184*x^13 + 25862120220431910677637037514465296412085880845578498107275349199630446192579697772044570591232*x^12 - 740281642776924583883187176266082585030057976503163309725890430006614037447554624445509162500096*x^11 + 19344823772227959608271524283892003508690650833794089333112607195367758060484654416121759260475392*x^10 - 479660661989529378574447906685045757582997927354521098283081547121436891886952425604363220110278656*x^9 + 11625308366716809980563563465209487749360225915694107762005223131063732832530734919520084253367861248*x^8 - 272459400234631358900030687042743449935357226080783653478769750585069721828589618514942451770892222464*x^7 + 5858883375742609245280217632840812243352388164504324345424277750444831956221760382938725699059928006656*x^6 - 108334551408603509578984919891610351842397207131364741892668688488796281314656304576016605496940745981952*x^5 + 1624490662510727933411823030772867065354141764272444839210588147015699065125169855476374033720554412834816*x^4 - 18678904257392140975195638945360605453047630243569490666719883001448323401277653562451649369809315510091776*x^3 + 153554641885206537407043442925962376667973315556264377608321544459204530943424340770035070203548466239504384*x^2 - 801821259936499435664918179082063954688403863481800247083296914669546379725088612781228853017745096213266432*x + 1998081083476174939239459953400338346002499886313124548777704392450083914204155732555052625016992346371260416)
irred_factor = F[0][0]; irred_factor 
        
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
r = irred_factor.change_ring(QQbar).roots(multiplicities=False); r 
        
[-79.90041681976539?, 21.57687932746541?, 53.00657644775183?,
71.68685290050676?, 197.6301081440414?]
[-79.90041681976539?, 21.57687932746541?, 53.00657644775183?, 71.68685290050676?, 197.6301081440414?]
Q = E.lift_x(r[0]) 
       
Q 
        
(-79.90041681976539? : 784.3386892591450? : 1)
(-79.90041681976539? : 784.3386892591450? : 1)
Q[0].minpoly() 
        
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
for a in [1..10]: print (a*Q)[0].minpoly() 
        
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
x^5 - 264*x^4 + 7920*x^3 + 1463616*x^2 - 92835072*x + 1294672896
 
       
E = EllipticCurve('11a').change_ring(QQbar).short_weierstrass_model() 
       
f = E.division_polynomial(5); f 
        
5*x^12 - 830304*x^10 - 410564160*x^9 - 18831294720*x^8 +
3472594882560*x^7 + 440379146096640*x^6 + 134864472935006208*x^5 +
25994612673782415360*x^4 + 1810360536289235435520*x^3 -
28707885002416890839040*x^2 - 7334606598810508606832640*x -
253355805791524532181270528
5*x^12 - 830304*x^10 - 410564160*x^9 - 18831294720*x^8 + 3472594882560*x^7 + 440379146096640*x^6 + 134864472935006208*x^5 + 25994612673782415360*x^4 + 1810360536289235435520*x^3 - 28707885002416890839040*x^2 - 7334606598810508606832640*x - 253355805791524532181270528
F = factor(f.change_ring(QQ)); F 
        
(5) * (x - 564) * (x - 168) * (x^2 + 60*x - 34704/5) * (x^4 + 84*x^3 +
16416*x^2 + 2277504*x + 194731776) * (x^4 + 588*x^3 + 175824*x^2 +
13303872*x + 395663616)
(5) * (x - 564) * (x - 168) * (x^2 + 60*x - 34704/5) * (x^4 + 84*x^3 + 16416*x^2 + 2277504*x + 194731776) * (x^4 + 588*x^3 + 175824*x^2 + 13303872*x + 395663616)
irred_factor = F[0][0]; irred_factor 
        
x - 564
x - 564
r = irred_factor.change_ring(QQbar).roots(multiplicities=False); r 
        
[564]
[564]
Q = E.lift_x(r[0]) 
       
Q 
        
(564 : 13068 : 1)
(564 : 13068 : 1)
Q[0].minpoly() 
        
x - 564
x - 564
for a in [1..4]: print (a*Q)[0].minpoly() 
        
x - 564
x - 168
x - 168
x - 564
x - 564
x - 168
x - 168
x - 564
irred_factor = F[2][0]; irred_factor 
        
x^2 + 60*x - 34704/5
x^2 + 60*x - 34704/5
r = irred_factor.change_ring(QQbar).roots(multiplicities=False); r 
        
[-118.5482919089917?, 58.54829190899167?]
[-118.5482919089917?, 58.54829190899167?]
Q = E.lift_x(r[0]); Q 
        
(-118.5482919089917? : 1076.510617740988?*I : 1)
(-118.5482919089917? : 1076.510617740988?*I : 1)
5*Q 
        
(0 : 1 : 0)
(0 : 1 : 0)
for a in [1..4]: print (a*Q)[0].minpoly() 
        
x^2 + 60*x - 34704/5
x^2 + 60*x - 34704/5
x^2 + 60*x - 34704/5
x^2 + 60*x - 34704/5
x^2 + 60*x - 34704/5
x^2 + 60*x - 34704/5
x^2 + 60*x - 34704/5
x^2 + 60*x - 34704/5
from sage.schemes.elliptic_curves.ell_curve_isogeny import compute_codomain_kohel 
       
compute_codomain_kohel(E, irred_factor, 5) 
        
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + (-270000)*x + 128250000 over
Algebraic Field
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + (-270000)*x + 128250000 over Algebraic Field
F = EllipticCurve([-270000,128250000]); F.conductor().factor() 
        
11
11
F.cremona_label() 
        
'11a3'
'11a3'
E 
        
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + (-13392)*x + (-1080432) over
Algebraic Field
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + (-13392)*x + (-1080432) over Algebraic Field
irred_factor 
        
x^2 + 60*x - 34704/5
x^2 + 60*x - 34704/5
E.change_ring(QQ).isogeny(irred_factor).codomain() 
        
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 270000*x + 128250000 over Rational
Field
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 270000*x + 128250000 over Rational Field
parent(irred_factor) 
        
Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field
Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field
F = E.change_ring(QQ).isogeny(irred_factor).codomain(); F 
        
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 270000*x + 128250000 over Rational
Field
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 270000*x + 128250000 over Rational Field
F.conductor() 
        
11
11

Crazy idea.
E = EllipticCurve('11a').change_ring(QQbar) 
       
 
        
Traceback (click to the left of this block for traceback)
...
AttributeError: 'EllipticCurve_field' object has no attribute
'torsion_subgroup'
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "_sage_input_85.py", line 10, in <module>
    exec compile(u'open("___code___.py","w").write("# -*- coding: utf-8 -*-\\n" + _support_.preparse_worksheet_cell(base64.b64decode("RS50b3JzaW9uX3N1Ymdyb3VwKCk="),globals())+"\\n"); execfile(os.path.abspath("___code___.py"))
  File "", line 1, in <module>
    
  File "/tmp/tmpcQfqB5/___code___.py", line 2, in <module>
    exec compile(u'E.torsion_subgroup()
  File "", line 1, in <module>
    
  File "parent.pyx", line 738, in sage.structure.parent.Parent.__getattr__ (sage/structure/parent.c:5754)
  File "parent.pyx", line 177, in sage.structure.parent.raise_attribute_error (sage/structure/parent.c:2726)
AttributeError: 'EllipticCurve_field' object has no attribute 'torsion_subgroup'